如何用锁相放大器处理直流信号

锁相放大器基本原理

锁相放大器主要有三个部分：参考信号，一对混频器和一对低通滤波器, 如 Figure 1 所示。为演示信号处理过程，我们考虑一个交流信号，假设待检测信号 \(V_{s}(t)= \sqrt{2}{R} \cos \left(\omega_{s} t+\theta\right)+n(t)\) , 参考信号 \( V_{r}(t)=\sqrt{2}\cos \left(\omega_{r} t+\theta_{r}\right) \)，其中 \(R\) 代表信号的幅度有效值，\(n(t)\) 是夹杂的噪声，\(\theta_{r}\)  是参考信号的相位。经上面的混频器，待测信号与参考信号相乘，信号变为 \[\begin{aligned} M_{1}(t)=&\left[\sqrt{2}{R} \cos \left(\omega_{s} t+\theta\right)+n(t)\right]\cdot \sqrt{2}\cos \left(\omega_{r} t +\theta_{r}\right) \\=& R\cos \left(\left(\omega_{s}-\omega_{r}\right) t+\theta - \theta_{r}\right)+{R}\cos \left(\left(\omega_{s}+\omega_{r}\right) t+\theta +\theta_{r}\right)+n({t}) \cdot \sqrt{2}\cos \left(\omega_{r} t +\theta_{r}\right)\end{aligned}\]

另一路的参考信号有90°的相位偏移，下面的混频器输出是

\(M_{2}(t)= {R}\sin \left(\left(\omega_{s}-\omega_{r}\right) t+\theta - \theta_{r}\right)-{R} \sin \left(\left(\omega_{s}+\omega_{r}\right) t+\theta +\theta_{r}\right)-n({t}) \cdot\sqrt{2}\sin \left(\omega_{r} t +\theta_{r}\right)\)

当 \(\omega_{s}=\omega_{r} \) 且不是零时，\(M_{1}\) 和 \(M_{2}\) 的第一项不随时间变化。即理想情况下，经过低通滤波器后， \(M_{1}\) 和 \(M_{2}\) 的第二和第三项被抑制，信号分别变为

\(X = {R}\cos \left(\theta - \theta_{r}\right);~ Y = {R} \sin \left(\theta - \theta_{r}\right)\)

那么我们可以将解调结果用极坐标的形式表示, 参考信号的相位 \(\theta_{r}\) 假设为0，

\({R}= \sqrt{X^{2} + Y^{2}} ;~ \theta = {atan}2\left( {Y,X} \right) \)

如果我们考虑直流信号，即 \(\omega_{s}=\omega_{r} = 0 \) ，待测信号可以写成 \(V_{s}(t)= V_{dc}+n(t)\)。虽然对于直流信号，不考虑相位这个参数，但是为了方便后面的讨论，我们仍保留参考信号中的相位。那么解调结果就变为

\(X =\sqrt{2}V_{dc}\cos \left(\theta_{r}\right) ; ~Y=-\sqrt{2}V_{dc}\sin \left(\theta_{r}\right) \)

由此，测得 \(R\) 是直流信号幅度的 \(\sqrt{2}\) 倍，\(R =\sqrt{2}\left|V_{dc}\right|\)。

直流偏置产生和测量

我们的锁相放大器常见的两种产生直流偏置的方式：设置 offset 和设置 Aux Output 辅助输出。最简单和直接的方法是设置 offset。如 Figure 2 所示， 比如 offset = 100mV。这个直流偏置就会被叠加到信号输出上。然后，我们把 Signal Output 打开，把输出和输入连接，进行测试。为了能够检测到直流偏置，应该关闭 Signal Input 的 AC 耦合，否则直流部分将会被 AC 耦合中的高通滤波器抑制。在 Reference 模块内，把作为参考信号的数字振荡器 Osc 的频率，即解调的参考频率，设置为0Hz。最后，我们把解调器模块内的低通滤波器 LPF 的带宽设置成很小，比如10Hz。我们看到解调结果是 \(R \) 与预计值一致， 即它是直流偏置的 \(\sqrt{2}\) 倍。\(X = 0\) ，恒定不变，而 \(Y= \sqrt{2}V_{dc}\)。根据上面的等式，我们可以推导出参考信号的 \(\theta_{r} = -90 ^{\circ}\) 。注意，这是仪器内预设的，与图形界面上 Reference 模块内 Phase = 0 不同，界面上的 Phase 的数值是对 \(\theta_{r} \) 的偏移。解调输出 \(Y\)是对输入信号进行低通滤波后的结果。在设置解调参数时，低通滤波器的带宽要足够小，否则待测信号包含的其他低频信号, 比如50Hz的电源噪声等，将影响测量结果。低通滤波器的另一个重要参数是阶数 Order。阶数越高，低通滤波器滚降特性越好，对带宽外的信号抑制就越强。